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中国古代最伟大的数学家:刘徽 《九章算术注》

中国古代最伟大的数学家:刘徽 《九章算术注》

2013年08月05日 09:08 来源:《中国社会科学报》2013年8月5日第484期 作者:郭书春


  【核心提示】实际上《九章筭术》仅构筑了中国传统数学的基本框架,直到刘徽完成《九章筭术注》,中国传统数学才形成了理论体系。

     

  以往常认为祖冲之是中国古代最伟大的数学家,但他的数学著作《缀术》由于隋唐算学馆的学官“莫能究其深奥,是故废而不理”,早已失传,而我们所知道的他的两项数学贡献——将圆周率精确到8位有效数字以及与儿子祖暅共同完成的球体的体积公式推导,却都由刘徽为其提供了方法上的解说。

  魏景元四年(263)刘徽撰《九章筭术注》,至今恰好1750周年。

  《九章筭术》是中国古代最重要的数学著作,它系统总结了中国先秦至西汉的数学成就,奠定了中国传统数学的基本框架及其以算法为主的特点。其分数四则运算、方程(多元一次线性方程组)解法和对面积与体积的计算等长期领先于世界水平。刘徽的注十分难读,长期未得到理解,学术界因此把他看成是依附于《九章筭术》的二流数学家,这是极不公正的。

  刘徽是中国数学史上批评《九章筭术》最多的数学家

  《九章筭术注》原十卷,第十卷“重差”系自撰自注,后以《海岛算经》为名单行,与《九章筭术》并列于《算经十书》。刘徽还撰《九章重差图》一卷,已失传。刘徽生平不详,根据有关史料,其籍贯是淄乡,属今山东省邹平县。他大约生于3世纪20年代后期或稍后,完成《九章筭术注》时,年仅30岁上下。

  汉末至魏晋是我国继春秋战国百家争鸣之后第二次思想大解放时期。刘徽深受思想界辩难之风的影响,注《九章筭术》的宗旨是“析理以辞,解体用图”。反对谶纬迷信,是他治学的一大特点,如《世本》有“隶首作数”的说法,但刘徽说“其详未之闻也”。汉代盛行谶纬,如大科学家张衡也未能免俗,刘徽批评张衡“欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣”,而他自己的数学知识中,没有任何猜测或神秘的成分。

  刘徽也不迷信古人。《九章筭术》最迟在东汉已被官方奉为经典,刘徽为之作注,推崇之余还指出了它的若干不准确甚或错误之处,他是中国数学史上批评《九章筭术》最多的数学家。

  刘徽还敢于承认自己的不足,并寄希望于后学。他设计了牟合方盖,指出得到解决球体积公式的正确途径。然而他功亏一篑,没能求出牟合方盖的体积,便老老实实地说:“欲陋形措意,惧失正理,敢不阙疑,以俟能言者。”正反映了科学家本色。

  刘徽还善于灵活运用数学方法,反对“胶柱调瑟”,而常常在《九章筭术》 的原文之外提出新的方法与思路。甚至有时他明知自己提出的新方法不如原来的简便,但仍如此,用他自己的话说,是为了“广异法也”。

  证明割圆术和“刘徽原理”

  刘徽除了发展出入相补原理、率的思想和重差术的重大贡献之外,最重要的是他对割圆术和“刘徽原理”的证明。

  20世纪70年代末之前半个世纪,刘徽的割圆术和对圆周率的计算是中国数学史界讨论最多的课题。但遗憾的是,所有的著述都忽视了其主旨——证明《九章筭术》的圆面积公式,且大部分对其求圆周率程序的表述也背离了刘徽注本身。

  《九章筭术》提出了圆面积公式:“术曰:半周半径相乘得积步。”刘徽之前的推导方法实际上没有证明这个公式,而他提出了使用极限思想和无穷小分割的证明方法。他首先从圆内接正6边形开始割圆,逐步得到正12、24、48……边形。圆内接正多边形的面积,小于圆面积,但分割至“不可割”之时,上述两者便会完全“合体”。另外,如果以圆半径与圆内接正多边形的边心距之差乘其边长,则得到的圆内接正多边形面积大于圆面积。但此两者合体时,便不会出现这种情况。换言之,刘徽从上界序列与下界序列的极限两个角度,求出了圆面积。刘徽说:“以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。”他将与圆合体的正无穷多边形再分割成以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形。由于每个小等腰三角形的高与其底的乘积是其面积的2倍,则将它们全部相加,就是2个圆面积。而所有这些小等腰三角形的底边之和是圆周长,那么一个圆的面积就是圆周长的一半乘半径,这便证明了《九章筭术》中的圆面积公式。

  接着刘徽说,“此以周、径,谓至然之数”,而此数就是圆周率。刘徽仍从直径为2尺的圆的内接正6边形开始割圆,利用勾股定理,计算出各多边形的边长以及正192边形的面积的整数部分平方寸作为圆面积的近似值,代入刚刚证明了的圆面积公式,反求出圆周长的近似值6尺2寸8分,即“以半径一尺除圆幂,倍所得,六尺二寸八分,即周数”。“令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五十”,也就是说圆周率为157/50,相当于3.14。

  近代数学大师高斯曾提出一个猜想:多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不是可能的?这一猜想构成了希尔伯特1900年的《数学问题》的第3问题的基础。实际上,早在1600多年前,刘徽在证明《九章筭术》中的阳马和鳖腝的体积公式时,就接触了高斯猜想和希尔伯特第3问题。

  中国古代在多面体分割中,开始从一个长方体沿相对两棱剖开,得到两个楔形体,叫做堑堵。再将一个堑堵从一个顶点到底面一边剖开,得到一个锥体,其高的垂足在底面的一角上,叫做阳马;剩下的便是四面皆为勾股形的四面体,叫做鳖腝。为了证明《九章筭术》中的体积公式,刘徽提出了一个重要原理:“邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖腝。阳马居二,鳖腝居一,不易之率也。”刘徽仍使用极限思想和无穷小分割方法证明了这个原理。

  “刘徽原理”是其多面体体积理论的基础。刘徽将此理论建立在无穷小分割的基础上,这与现代数学的体积理论惊人地一致。

  刘徽对演绎推理的发展

  中国古代数学缺乏演绎推理,一直是学术界的主流看法。事实上,只要读懂刘徽注就会发现,他在数学命题的证明中主要使用了演绎法,涉及了演绎逻辑最重要的推理形式。比如对“盈不足术”刘徽注云:“注云若两设有分者,齐其子,同其母。此问两设俱见零分,故齐其子,同其母。”这个推理完全符合三段论的规则,是其第一格的AAA式。

  刘徽注中还有数学归纳法的雏形。比如在对“刘徽原理”的证明中,刘徽首先通过第一次分割证明了在整个堑堵的3/4中阳马与鳖腝的体积之比为2∶1。他进一步认为第一次分割可以无限递推,说:“按余数具而可知者有一、二分之别,即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置余广、袤、高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其余弥细。至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉?”

  人们常说《九章筭术》建立了中国古代的数学体系。这种提法似是而非。实际上《九章筭术》仅构筑了中国传统数学的基本框架,直到刘徽完成《九章筭术注》,中国传统数学才形成了理论体系。方法的改变,必然导致一个学科内部结构的相应改变。刘徽的注释不是对《九章筭术》数学框架的简单补充,而是对其的根本改造。

  (作者单位:中国科学院自然科学史研究所)
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